El método matemático de adición de series mediante expansión integral

 

En el campo de las matemáticas se suele denominar una serie a una suma de finitos o infinitos términos, los cuales responden a una fórmula de la que se extrae cada valor particular de cada término de la suma. En realidad existen otras conceptualizaciones que responden a la palabra “serie”. Por ejemplo, podemos tener una serie de composición de grupos de un grupo dado G, donde cada subgrupo constituyente es un subgrupo normal del inmediatamente siguiente; pero esto es ya algo totalmente diferente a lo que primero enuncié, tiene que ver con la teoría de grupos. Hablando estrictamente de series en el sentido de sumas de números, un problema que aparece de forma natural, y del que es deseable unasolución o al menos una aproximación, es el cálculo de la adición de la serie. Sumar números con un computador no es difícil, basta desarrollar un programa de cálculo, que puede ser muy sencillo, dependiendo del lenguaje de programación empleado. Pero las matemáticas son muy rigurosas, es la forma de razonamiento tal vez más exigente, puesto que ha de haber una pulcritud e irrefutabilidad aplastantes en las demostraciones, no vale seguir los derroteros de la intuición o de la imaginación en las mismas, la intuición que tan bien funciona en un juicio o en la investigación criminal, unida a las pruebas, aquí sólo sirve -y es mucho ésto- para establecer el punto de partida y para ver la solución antes de demostrarla, lo que realmente vale es la demostración irrefutable. Los matemáticos -los de verdad, yo sólo soy un aficionado de los malos- convierten café en teoremas (como dijo Paul Erdös), y sus creaciones pueden llegar a ser de una belleza estremecedora -dependiendo también del ojo que la observa-.

 

El problema de la adición de las series me tuvo algún tiempo pensativo cuando estaba en la universidad. En los cursos de cálculo de aquel entonces no se enseñaban métodos generales para sumar series, se enseñaban únicamente criterios para evaluar la convergencia de las mismas, esto es, condiciones que necesariamente se cumplían cuando había tal convergencia, y si fortalecíamos esas condiciones necesarias, haciéndolas más estrictas, podíamos llegar a condiciones necesarias y suficientes, esto es, equivalentes al hecho de la convergencia. Mi punto de partida era, pues, humilde. Pero entonces se me ocurrió la idea de quepodía aplicar el cálculo integral a funciones en escalera, esto es, histogramas de intervalo unitario, de tal manera que la función que describía el término general de la serie, extendida a la recta real, podía rebasar o no ese histograma, pero en cualquiera de los dos casos la suma buscada se podía calcular como la integral en el intervalo de definición de la función continua de variable real, más un exceso o un defecto, que era lo que sobraba o faltaba en cada subintervalo unitario entre la función continua que generaliza el histograma y el mismo, y que también como es lógico se podía poner como una suma con un cierto término general, extendida al mismo intervalo. Y si se sigue iterando este razonamiento se obtiene un procedimiento del cual bajo alguna condición suficiente se puede llegar a la convergencia de la suma. Traté de ver las consecuencias de esta idea y obtuve un método de cálculo que utiliza la integración en variable real para dar una primera aproximación a la suma de la serie, y las derivadas de la función del término general en los extremos del intervalo, relacionadas de cierta manera concreta, para lograr una aproximación más refinada. Evidentemente tenía que buscar algunas condiciones que permitiesen aplicar esto con garantías de obtener un resultado satisfactorio, y encontré esta condición en la variación lenta de la función, expresada cuantitativamente de cierta manera concreta.

 

Hace unos años registré el método en el Registro de Propiedad Intelectual, pensando que había descubierto la pólvora -la ilusión del ignorante-, y lo envié a un par de revistas especializadas. En una de ellas ni siquiera lo sometieron a juicio, no es de extrañar, dado que yo iba por libre, por no estar en ningún proyecto de investigación. Los responsables de la otra publicación fueron mucho más generosos conmigo. Sin duda alguna notaron en un principio cuáles eran mis condiciones, y me ayudaron. Me ayudaron asignándome un referee y tomándome en cuenta, esto es, no descartándome. Estoy muy agradecido a esta institución, cuyo nombre aquí no mencionaré. El referee no tardó en ver roturas en lo que yo tan inocentemente había hilvanado. Es natural, ya que los referees son verdaderos expertos en las disciplinas cuyo conocimiento atesoran. Pero bueno, estoy contento, porque este señor enumeró las mejoras que yo debía llevar a cabo, y así, en el transcurso de un año, fui  mejorando el artículo. Ahora bien, mis conocimientos de matemáticas son muy limitados, y había un problema serio en el mismo, que es que yo no utilizaba referencias a ninguna obra de ningún otro autor en el transcurso de la obra. Como alguna tenía que poner busqué en una enciclopedia y puse algunas citas al final. Pero esto no es suficiente -inocente de mí-, todo el mundo que se dedica a investigar profesionalmente conoce que el artículo ha de estar perfectamente relacionado con otras obras previas, en ausencia de estas citas carece de valor. ¿Y yo qué podía hacer?. Pues nada, porque no soy un investigador de élite, ni muchísimo menos, no tengo cultura matemática suficiente para aportar esas citas de una manera coherente porque sencillamente las desconozco, soy un aficionado en todo lo que hago, hasta a la hora de hacerme un bocadillo. Por lo tanto, al final no aporté una redacción del artículo tal y como se pretendía, y esto unido al hecho del escaso interés que suscita un problema que fue tratado sin duda más finamente por Euler y MacLaurin hace mucho tiempo, pero de manera diferente formalmente -el método de Euler y MacLaurin usa los números de Bernouilli y precisa necesariamente del empleo de la derivada; sin embargo el de expansión integral (pomposo nombre que le puse) usa sólo la integración para el cálculo, complementable con la derivación para la aproximación más refinada si se desea, pero no precisa de los números de Bernouilli, porque yo derivé el método de otra manera. Esto es, al menos algo tenía de bueno mi método, a saber, no eran necesarios los números de Bernouilli, bastaba el cálculo infinitesimal. Pues bien, ahí quedó la cosa, porque al término de ese año en el cual traté de mejorar el artículo, lográndolo sólo en parte, los miembros de la institución decidieron en común acuerdo no publicarlo. Acepté la decisión con resignación, qué iba a hacer sino… Pues a otra cosa mariposa. No obstante, sigo pensando y manteniendo que el método es válido y que funciona, aunque su redacción no sea la correcta, y por eso lo registré. Y ahora aquí os lo dejo, para que los que estén interesados puedan verlo, puesto que me propuse que no quedaría sin publicar, y esto de las bitácoras es una forma como otra de hacer públicas las cosas. Que lo disfrutéis si os interesa, sóis libres de abrirlo y verlo, si no os interesa pues no lo abráis, sería perder el tiempo.

 

                                              Clicar aquí :   expansion_integral_ver.z.0.

~ por verpiman en Abril 14, 2010.

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